Hướng giải của Đếm Cặp Nghịch Thế

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải

Số lần di chuyển tối thiểu để đưa hàng đồ chơi về thứ tự không giảm tương đương với số cặp nghịch thế của mảng. Một cặp nghịch thế là cặp chỉ số \((i, j)\) sao cho \(i < j\) và \(a_i > a_j\).

  1. Rời rạc hóa (coordinate compression) các giá trị của mảng về đoạn \([1, N]\) do giá trị có thể tới \(10^9\).
  2. Duyệt ngược từ cuối về đầu:
    • Với mỗi phần tử \(a_i\), ta truy vấn tổng các phần tử đã duyệt nhỏ hơn \(a_i\) trên Fenwick Tree. Số lượng này chính là số phần tử thỏa mãn nghịch thế với \(a_i\).
    • Cập nhật tăng tần số xuất hiện của \(a_i\) lên 1 trên Fenwick Tree.

Độ phức tạp thời gian: \(O(N \log N)\).

Mã nguồn C++ mẫu

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
vector<int> bit;

void update(int i, int val) {
    for (; i <= n; i += i & -i) bit[i] += val;
}

int query(int i) {
    int s = 0;
    for (; i > 0; i -= i & -i) s += bit[i];
    return s;
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL);
    if (!(cin >> n)) return 0;
    vector<int> a(n);
    vector<int> temp(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        temp[i] = a[i];
    }
    sort(temp.begin(), temp.end());
    temp.erase(unique(temp.begin(), temp.end()), temp.end());
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        a[i] = lower_bound(temp.begin(), temp.end(), a[i]) - temp.begin() + 1;
    }
    bit.assign(n + 2, 0);
    long long ans = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        ans += query(a[i] - 1);
        update(a[i], 1);
    }
    cout << ans << "\n";
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.