Hướng giải của Giá Trị Cực Tiểu Khi Nhảy

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải: Giá Trị Cực Tiểu Khi Nhảy

Phân tích bài toán

Yêu cầu tìm trọng số nhỏ nhất của các cung đi qua khi thực hiện \(K\) bước nhảy từ \(U\). Kỹ thuật Nhảy nhị phân (Binary Lifting) hoàn toàn hỗ trợ lưu trữ thông tin này:

  • Định nghĩa min_val[i][j] là trọng số nhỏ nhất của các cung đi qua khi nhảy \(2^j\) bước từ đỉnh \(i\).
  • Cơ sở: min_val[i][0] = W_i.
  • Quy hoạch động: min_val[i][j] = min(min_val[i][j-1], min_val[up[i][j-1]][j-1]) (trọng số nhỏ nhất của nửa nhảy đầu và nửa nhảy sau).
  • Khi xử lý truy vấn, ta duyệt qua các bit 1 của \(K\), cập nhật kết quả cực tiểu từ mảng min_val[u][j] và chuyển sang đỉnh mới u = up[u][j].
Độ phức tạp
  • Thời gian: \(O(N \log K_{max})\) tiền xử lý, và \(O(\log K)\) mỗi truy vấn.
  • Không gian: \(O(N \log K_{max})\) bộ nhớ.
Mã nguồn C++ mẫu
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int n, q;
    if (!(cin >> n >> q)) return 0;

    int LOG = 62;
    vector<vector<int>> up(n, vector<int>(LOG));
    vector<vector<long long>> min_val(n, vector<long long>(LOG));

    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> up[i][0];
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> min_val[i][0];

    for (int j = 1; j < LOG; j++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            up[i][j] = up[up[i][j - 1]][j - 1];
            min_val[i][j] = min(min_val[i][j - 1], min_val[up[i][j - 1]][j - 1]);
        }
    }

    while (q--) {
        int u;
        long long k;
        cin >> u >> k;
        long long ans = 2e18;
        for (int j = 0; j < LOG; j++) {
            if (k & (1LL << j)) {
                ans = min(ans, min_val[u][j]);
                u = up[u][j];
            }
        }
        cout << ans << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.