Hướng giải của Đường đi tổng K

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải

Ý tưởng

Bài toán IOI 2011 Race kinh điển. Dùng Centroid Decomposition:

Tại mỗi centroid \(C\):

  1. Duyệt từng subtree, thu thập các cặp \((dist, depth)\): tổng trọng số và số cạnh từ \(C\).
  2. Dùng mảng cnt[d] = số cạnh nhỏ nhất để đạt tổng \(d\) (hoặc đếm số cách).
  3. Với mỗi cặp \((d, dep)\) trong subtree hiện tại, nếu \(K-d\) >= 0 và cnt[K-d] có giá trị hợp lệ, cập nhật kết quả.
  4. Thêm các cặp của subtree hiện tại vào mảng đếm.
Độ phức tạp
  • Thời gian: \(O(N \log N)\).
  • Bộ nhớ: \(O(N + K)\).
Code mẫu
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200005, INF = 1e9;
vector<pair<int,int>> adj[MAXN];
int subsize[MAXN];
bool removed[MAXN];
int n, k, ans = INF;
int cnt[1000005];

void dfs_size(int u, int p) {
    subsize[u] = 1;
    for (auto [v, w] : adj[u])
        if (v != p && !removed[v]) {
            dfs_size(v, u);
            subsize[u] += subsize[v];
        }
}

int find_centroid(int u, int p, int tot) {
    for (auto [v, w] : adj[u])
        if (v != p && !removed[v] && subsize[v] > tot / 2)
            return find_centroid(v, u, tot);
    return u;
}

void get_dists(int u, int p, int d, int dep, vector<pair<int,int>>& out) {
    // Thu thập (tổng trọng số, số cạnh)
    out.push_back({d, dep});
    for (auto [v, w] : adj[u])
        if (v != p && !removed[v])
            get_dists(v, u, d + w, dep + 1, out);
}

void solve_at_centroid(int u) {
    cnt[0] = 0;
    vector<int> used;
    used.push_back(0);

    for (auto [v, w] : adj[u]) {
        if (removed[v]) continue;
        vector<pair<int,int>> nodes;
        get_dists(v, u, w, 1, nodes);
        for (auto [d, dep] : nodes) {
            if (d <= k && cnt[k - d] != INF) {
                ans = min(ans, dep + cnt[k - d]);
            }
        }
        for (auto [d, dep] : nodes) {
            if (d <= k && cnt[d] > dep) {
                if (cnt[d] == INF) used.push_back(d);
                cnt[d] = dep;
            }
        }
    }
    // Reset mảng cnt
    for (int d : used) cnt[d] = INF;
}

void decompose(int u) {
    dfs_size(u, -1);
    int c = find_centroid(u, -1, subsize[u]);
    solve_at_centroid(c);
    removed[c] = true;
    for (auto [v, w] : adj[c])
        if (!removed[v]) decompose(v);
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
        adj[v].push_back({u, w});
    }
    fill(cnt, cnt + k + 1, INF);
    decompose(1);
    cout << (ans == INF ? -1 : ans) << "\n";
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.