Hướng giải của Sắp xếp đồ vật
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
Gọi \(S_i = \sum_{k=1}^{i} a_k\) là tổng kích thước các đồ vật từ 1 đến \(i\).
\[dp[i] = \min_{j < i} \{ dp[j] + (i - j - 1 + S_i - S_j)^2 \}\]
Đặt \(pref_i = S_i + i\) thì: \[dp[i] = \min_{j < i} \{ dp[j] + (pref_i - pref_j - 1)^2 \}\]
Khai triển: \(dp[i] = pref_i^2 - 2pref_i + 1 + \min_{j < i} \{ dp[j] + pref_j^2 + 2pref_j - 2pref_i(pref_j + 1) \}\)
Đặt \(m_j = -2(pref_j + 1)\), \(b_j = dp[j] + pref_j^2 + 2pref_j\), \(x_i = pref_i\).
Độ phức tạp: \(O(N)\).
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
int n; cin >> n;
vector<long long> a(n + 1), s(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
s[i] = s[i-1] + a[i];
}
vector<long long> pref(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
pref[i] = s[i] + i;
vector<long long> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
struct Line { long long m, b; };
deque<Line> dq;
// Thêm j=0: m = -2*(pref[0]+1) = -2, b = dp[0] + pref[0]^2 + 2*pref[0] = 0
dq.push_back({-2 * (pref[0] + 1), pref[0] * pref[0] + 2 * pref[0]});
for (int i = 1; i <= n; i++) {
long long x = pref[i];
while (dq.size() >= 2) {
long long v1 = dq[0].m * x + dq[0].b;
long long v2 = dq[1].m * x + dq[1].b;
if (v1 >= v2) dq.pop_front();
else break;
}
long long best = dq[0].m * x + dq[0].b;
dp[i] = x * x - 2 * x + 1 + best;
Line l = {-2 * (pref[i] + 1), dp[i] + pref[i] * pref[i] + 2 * pref[i]};
while (dq.size() >= 2) {
Line& a = dq[dq.size()-2];
Line& b2 = dq.back();
if ((__int128)(b2.b - a.b) * (a.m - l.m) >= (__int128)(l.b - a.b) * (a.m - b2.m))
dq.pop_back();
else break;
}
dq.push_back(l);
}
cout << dp[n] << "\n";
return 0;
}
Nhận xét