Hướng giải của Nghĩa trang
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
Chi phí xây lăng tại vị trí \(p\) cho đoạn từ \(l\) đến \(r\): \(\sum_{i=l}^{r} |pos_i - p|\). Giá trị tối ưu tại trung vị.
Gọi \(cost(l, r)\) là chi phí tối ưu cho đoạn \([l, r]\). Công thức DP: \[dp[i][k] = \min_{j < i} \{ dp[j][k-1] + cost(j+1, i) \}\]
Dùng tính chất quadrangle inequality (QI) để tối ưu hoặc dùng Li Chao Tree kết hợp DP.
Để đơn giản, sử dụng CHT sau khi biến đổi cost thành dạng đường thẳng: \[cost(l, r) = \sum_{i=l}^{r} |pos_i - pos_{mid}|\]
Độ phức tạp: \(O(NK)\) hoặc \(O(N \log N)\) với CHT.
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
int n, k; cin >> n >> k;
vector<long long> a(n + 1), s(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
s[i] = s[i-1] + a[i];
}
// cost(l, r) = a[l]*(m-l) - (s[m-1]-s[l-1]) + (s[r]-s[m]) - a[m]*(r-m)
// với m = (l+r)/2
auto cost = [&](int l, int r) {
int m = (l + r) / 2;
long long left = a[m] * (m - l) - (s[m-1] - s[l-1]);
long long right = (s[r] - s[m]) - a[m] * (r - m);
return left + right;
};
vector<long long> dp_prev(n + 1, 0), dp_cur(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) dp_prev[i] = cost(1, i);
for (int t = 2; t <= k; t++) {
struct Line { long long m, b; };
deque<Line> dq;
dp_cur[0] = 0;
// Với CHT, cần xử lý: dp_cur[i] = min(dp_prev[j] + cost(j+1, i))
// cost(j+1, i) không phải dạng tuyến tính thuần tuý
// Dùng kỹ thuật divide and conquer DP
// Ở đây dùng QI + divide and conquer
function<void(int,int,int,int)> solve = [&](int l, int r, int optL, int optR) {
if (l > r) return;
int mid = (l + r) / 2;
int bestJ = -1;
long long bestVal = 1LL << 60;
for (int j = optL; j <= min(optR, mid - 1); j++) {
long long val = dp_prev[j] + cost(j + 1, mid);
if (val < bestVal) { bestVal = val; bestJ = j; }
}
dp_cur[mid] = bestVal;
solve(l, mid - 1, optL, bestJ);
solve(mid + 1, r, bestJ, optR);
};
solve(1, n, 0, n - 1);
swap(dp_prev, dp_cur);
}
cout << dp_prev[n] << "\n";
return 0;
}
Nhận xét