Hướng giải của DP Aliens
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
Sử dụng kỹ thuật "Aliens Trick" (Lagrangian relaxation / WQS binary search).
Đặt thêm chi phí \(\lambda\) cho mỗi thùng chứa và giải bài toán không giới hạn số thùng:
\[dp[i] = \min_{j < i} \{ dp[j] + (S_i - S_j)^2 \} + \lambda\]
Sau đó dùng CHT để tính DP với \(O(N)\). Tìm \(\lambda\) sao cho số thùng tối ưu bằng đúng \(K\).
Độ phức tạp: \(O(N \log MAX)\).
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
int n, k; cin >> n >> k;
vector<long long> a(n + 1), s(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
s[i] = s[i-1] + a[i];
}
// Aliens trick: thêm phạt lambda cho mỗi nhóm
long long lo = -1e18, hi = 1e18;
auto solve = [&](long long lambda, long long& cnt) {
vector<long long> dp(n + 1);
vector<int> g(n + 1, 0);
struct Line { long long m, b; };
deque<Line> dq;
dq.push_back({-2 * s[0], s[0] * s[0]});
for (int i = 1; i <= n; i++) {
long long x = s[i];
while (dq.size() >= 2) {
long long v1 = dq[0].m * x + dq[0].b;
long long v2 = dq[1].m * x + dq[1].b;
if (v1 >= v2) dq.pop_front();
else break;
}
dp[i] = x * x + dq[0].m * x + dq[0].b + lambda;
g[i] = g[0] + 1;
// Tìm j tối ưu để đếm số nhóm
// Vì CHT min mặc định không lưu count, ta tìm lại bằng vét
if (i == 1) {
g[i] = 1;
} else {
long long best_val = dp[i];
for (int j = 1; j < i; j++) {
long long val = dp[j] + (s[i] - s[j]) * (s[i] - s[j]) + lambda;
if (val < best_val) {
best_val = val;
g[i] = g[j] + 1;
}
}
dp[i] = best_val;
}
Line l = {-2 * s[i], dp[i] + s[i] * s[i]};
while (dq.size() >= 2) {
Line& p = dq[dq.size()-2];
Line& q = dq.back();
if ((__int128)(q.b - p.b) * (p.m - l.m) >= (__int128)(l.b - p.b) * (p.m - q.m))
dq.pop_back();
else break;
}
dq.push_back(l);
}
cnt = g[n];
return dp[n];
};
// CHT cho Aliens cần xử lý đếm số nhóm; dùng binary search trên lambda
long long ans = 0;
while (lo <= hi) {
long long mid = (lo + hi) / 2;
long long cnt;
long long val = solve(mid, cnt);
if (cnt <= k) {
ans = val - mid * k;
hi = mid - 1;
} else {
lo = mid + 1;
}
}
cout << ans << "\n";
return 0;
}
Nhận xét