Hướng giải của Giới thiệu CHT
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
Gọi \(dp[i]\) là chi phí nhỏ nhất khi xét đến ô \(i\) và ô \(i\) là vòi phun cuối cùng.
Công thức DP: \[dp[i] = \min_{j < i} \{ dp[j] + (a_i - a_j)^2 \} + C\] với \(dp[1] = 0\) (không tốn C cho vòi đầu).
Khai triển: \[dp[i] = a_i^2 + C + \min_{j < i} \{ dp[j] + a_j^2 - 2a_i a_j \}\]
Đặt: \(m_j = -2a_j\), \(b_j = dp[j] + a_j^2\), \(x_i = a_i\).
Bài toán trở thành tìm đường thẳng cho giá trị nhỏ nhất tại \(x_i\).
Độ phức tạp: \(O(N)\).
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
int n; long long C;
cin >> n >> C;
vector<long long> a(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
// dp[i] = chi phí nhỏ nhất khi đặt vòi tại i
vector<long long> dp(n + 1);
dp[1] = 0;
// Cấu trúc CHT lưu đường thẳng y = m*x + b
struct Line { long long m, b; };
deque<Line> dq;
// Thêm đường thẳng cho j=1: m = -2*a[1], b = a[1]^2
dq.push_back({-2 * a[1], a[1] * a[1]});
for (int i = 2; i <= n; i++) {
// Truy vấn tại x = a[i]
while (dq.size() >= 2) {
long long v1 = dq[0].m * a[i] + dq[0].b;
long long v2 = dq[1].m * a[i] + dq[1].b;
if (v1 >= v2) dq.pop_front();
else break;
}
long long best = dq[0].m * a[i] + dq[0].b;
dp[i] = a[i] * a[i] + C + best;
// Thêm đường thẳng mới cho j = i
Line l = {-2 * a[i], dp[i] + a[i] * a[i]};
// Loại bỏ các đường thẳng không còn hữu dụng
while (dq.size() >= 2) {
Line& b = dq[dq.size()-2];
Line& c = dq.back();
// Kiểm tra giao điểm: (c.b-b.b)*(b.m-l.m) >= (l.b-b.b)*(b.m-c.m)
if ((__int128)(c.b - b.b) * (b.m - l.m) >= (__int128)(l.b - b.b) * (b.m - c.m))
dq.pop_back();
else break;
}
dq.push_back(l);
}
cout << dp[n] << "\n";
return 0;
}
Nhận xét