Hướng giải của Xưởng cưa
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
Gọi \(d_i\) là vị trí, \(w_i\) là khối lượng. Tính \(sumW_i = \sum_{k=1}^{i} w_k\) và \(sumD_i = \sum_{k=1}^{i} d_k w_k\).
Chi phí nếu chỉ có một xưởng ở vị trí \(p\): \(\sum w_i \times (d_i - p) = sumD_N - p \times sumW_N\).
Với hai xưởng, đặt xưởng thứ nhất ở vị trí \(i\), xưởng thứ hai ở vị trí \(j\) (\(i \le j\)):
\[cost = \sum_{k=1}^{i} w_k (d_i - d_k) + \sum_{k=i+1}^{j} w_k (d_j - d_k) + \sum_{k=j+1}^{N} w_k (d_{k} - d_j)\]
Sau khi biến đổi, bài toán đưa về tìm \(i, j\) tối ưu bằng CHT.
Độ phức tạp: \(O(N^2)\) với subtask 1, \(O(N)\) với CHT cho subtask 2-3.
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
int n; cin >> n;
vector<long long> d(n + 1), w(n + 1);
vector<long long> sumW(n + 1, 0), sumD(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> d[i] >> w[i];
sumW[i] = sumW[i-1] + w[i];
sumD[i] = sumD[i-1] + d[i] * w[i];
}
// Chi phí khi đặt xưởng ở vị trí i, vận chuyển cây 1..i đến i
auto cost1 = [&](int i) {
return d[i] * sumW[i] - sumD[i];
};
long long ans = 1LL << 60;
// CHT cho xưởng thứ hai
struct Line { long long m, b; };
deque<Line> dq;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// j là xưởng thứ hai, cần tìm i < j tối ưu
// Với mỗi i, thêm đường thẳng m = -d[i], b = sumD[i] + cost1(i)
// Truy vấn tại x = sumW[j]: tìm min
// Thêm đường thẳng cho i = j-1 trước khi truy vấn
if (j == 1) {
Line l = {-d[j], sumD[j] + cost1(j)};
dq.push_back(l);
continue;
}
// Truy vấn tại x = sumW[j]
long long x = sumW[j];
while (dq.size() >= 2) {
long long v1 = dq[0].m * x + dq[0].b;
long long v2 = dq[1].m * x + dq[1].b;
if (v1 >= v2) dq.pop_front();
else break;
}
long long best_i = dq[0].m * x + dq[0].b;
long long cur = best_i + sumD[n] - d[j] * sumW[j];
ans = min(ans, cur);
// Thêm đường thẳng cho i = j
Line l = {-d[j], sumD[j] + cost1(j)};
while (dq.size() >= 2) {
Line& a = dq[dq.size()-2];
Line& b2 = dq.back();
if ((__int128)(b2.b - a.b) * (a.m - l.m) >= (__int128)(l.b - a.b) * (a.m - b2.m))
dq.pop_back();
else break;
}
dq.push_back(l);
}
// Trường hợp chỉ đặt 1 xưởng
for (int j = 1; j <= n; j++)
ans = min(ans, sumD[n] - d[j] * sumW[j]);
// Trường hợp đặt xưởng ở vị trí 0 (đầu đường)
ans = min(ans, sumD[n]);
cout << ans << "\n";
return 0;
}
Nhận xét