Hướng giải của Baby-step Giant-step

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Baby-step Giant-step

Phân tích

Bài toán logarithm rời rạc: tìm \(x\) sao cho \(a^x \equiv b \pmod{p}\).

Ý tưởng: Đặt \(m = \lceil \sqrt{p} ceil\), viết \(x = i \cdot m + j\) với \(0 \le i, j < m\).

  • Baby-step: Tính \(a^j ?mod p\) với mọi \(j < m\), lưu vào bảng băm \((giá trị, j)\).
  • Giant-step: Tính \(b \cdot (a^{-m})^i ?mod p\) với mọi \(i < m\), kiểm tra có trong bảng không.

Độ phức tạp: \(O(\sqrt{p} \log p)\).

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

// Luy thua nhi phan: tinh a^b % p
ll powerMod(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = 1;
    a %= p;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (__int128)res * a % p;
        a = (__int128)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll a, b, p;
    cin >> a >> b >> p;

    // Truong hop dac biet: a = 0
    if (a == 0) {
        if (b == 0) cout << 1 << endl;
        else cout << -1 << endl;
        return 0;
    }

    // Truong hop b = 1: x = 0 vi a^0 = 1
    if (b == 1) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    ll m = (ll)ceil(sqrt(p));
    unordered_map<ll, ll> baby;

    // Baby-step: tinh a^j voi j = 0..m-1, luu vao bang bam
    ll cur = 1;
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        if (!baby.count(cur)) {
            baby[cur] = j;  // Luu cap (gia_tri, so_mu)
        }
        cur = cur * a % p;
    }

    // Giant-step: tinh b * (a^{-m})^i
    // a^{-1} mod p = a^{p-2} mod p (Fermat)
    ll inv_a = powerMod(a, p - 2, p);
    ll big_step = powerMod(inv_a, m, p);  // a^{-m}

    cur = b;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (baby.count(cur)) {
            // Tim thay: x = i*m + j
            ll x = i * m + baby[cur];
            cout << x << endl;
            return 0;
        }
        cur = cur * big_step % p;
    }

    // Khong tim thay nghiem
    cout << -1 << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.