Hướng giải của Bậc của phần tử


Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Bậc của phần tử

Phân tích

Bậc của \(a\) modulo \(p\) là số \(d\) nhỏ nhất sao cho \(a^d \equiv 1 \pmod{p}\). Theo định lý Lagrange, bậc luôn là ước của \(p-1\). Duyệt các ước của \(p-1\), tìm ước nhỏ nhất thỏa mãn.

Độ phức tạp: \(O(\sqrt{p} \log p)\).

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

// Luy thua nhi phan
ll powerMod(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = 1;
    a %= p;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (__int128)res * a % p;
        a = (__int128)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll a, p;
    cin >> a >> p;

    ll phi = p - 1;  // phi(p) = p - 1 vi p la so nguyen to
    ll ans = phi;     // Bac lon nhat co the la p-1

    // Duyet cac uoc cua phi(p)
    for (ll d = 1; d * d <= phi; d++) {
        if (phi % d == 0) {
            // Kiem tra uoc d
            if (powerMod(a, d, p) == 1) {
                ans = min(ans, d);
            }
            // Kiem tra uoc phi/d
            ll e = phi / d;
            if (powerMod(a, e, p) == 1) {
                ans = min(ans, e);
            }
        }
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.