Hướng giải của Khoảng cách hai làng

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Nhận xét

Bài toán yêu cầu tính khoảng cách (số cạnh) giữa hai đỉnh trên cây. Khoảng cách giữa \(u\) và \(v\) được tính bằng công thức: \(dist(u, v) = depth[u] + depth[v] - 2 imes depth[lca(u, v)]\)

Ý tưởng giải

  1. DFS: Tính độ sâu \(depth[u]\) cho mọi đỉnh (gốc có depth = 0).
  2. Euler Tour + Sparse Table: Xây dựng cấu trúc LCA như bài LCA để tìm tổ tiên chung gần nhất trong \(O(1)\).
  3. Công thức khoảng cách: Với mỗi truy vấn \((u, v)\):
    • Tìm \(w = LCA(u, v)\)
    • Khoảng cách = \(depth[u] + depth[v] - 2 imes depth[w]\)

Độ phức tạp

  • Tiền xử lý DFS: \(O(N)\)
  • Xây dựng Sparse Table: \(O(N \log N)\)
  • Mỗi truy vấn: \(O(1)\)
  • Tổng: \(O(N \log N + Q)\)

Code mẫu

// Giải thuật ett cho bài toán ett-dist\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 200005;
const int LOG = 20;
vector<int> adj[MAXN];
int depth[MAXN];
int euler[2 * MAXN];
int first[MAXN];
int euler_depth[2 * MAXN];
int st[2 * MAXN][LOG];
int log_table[2 * MAXN];
int n, q, euler_cnt;

void dfs(int u, int parent, int d) {
    depth[u] = d;
    euler[euler_cnt] = u;
    euler_depth[euler_cnt] = d;
    if (first[u] == -1) first[u] = euler_cnt;
    euler_cnt++;

    for (int v : adj[u]) {
        if (v != parent) {
            dfs(v, u, d + 1);
            euler[euler_cnt] = u;
            euler_depth[euler_cnt] = d;
            euler_cnt++;
        }
    }
}

void build_sparse_table() {
    int m = euler_cnt;
    log_table[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= m; i++)
        log_table[i] = log_table[i / 2] + 1;

    for (int i = 0; i < m; i++)
        st[i][0] = i;

    for (int j = 1; (1 << j) <= m; j++) {
        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < m; i++) {
            int left = st[i][j - 1];
            int right = st[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
            st[i][j] = (euler_depth[left] < euler_depth[right]) ? left : right;
        }
    }
}

int query_rmq(int l, int r) {
    int k = log_table[r - l + 1];
    int left = st[l][k];
    int right = st[r - (1 << k) + 1][k];
    return (euler_depth[left] < euler_depth[right]) ? left : right;
}

int lca(int u, int v) {
    int l = first[u], r = first[v];
    if (l > r) swap(l, r);
    int idx = query_rmq(l, r);
    return euler[idx];
}

int main() {
    // Doc du lieu dau vao
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> q;

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    memset(first, -1, sizeof(first));
    euler_cnt = 0;
    dfs(1, 0, 0);
    build_sparse_table();

    // Khoang cach = depth[u] + depth[v] - 2 * depth[lca]
    while (q--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        int w = lca(u, v);
        cout << depth[u] + depth[v] - 2 * depth[w] << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.