Hướng giải của Tổ tiên chung

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Nhận xét

Bài toán yêu cầu tìm LCA (tổ tiên chung gần nhất) của hai đỉnh trên cây. Có nhiều cách giải, nhưng Euler Tour kết hợp Sparse Table cho độ phức tạp \(O(1)\) mỗi truy vấn.

Ý tưởng giải

Sử dụng Euler Tour + Sparse Table RMQ:

  1. Euler Tour: DFS từ gốc, ghi đỉnh vào mảng \(E\) mỗi lần thăm (kể cả khi quay lui). Mỗi đỉnh xuất hiện nhiều lần.
  2. Mảng first: \(first[u]\) = chỉ số đầu tiên \(u\) xuất hiện trong \(E\).
  3. Mảng depth: \(depth[u]\) = độ sâu của đỉnh \(u\) so với gốc.
  4. Sparse Table: Xây dựng trên mảng độ sâu của \(E\) để truy vấn chỉ số có độ sâu nhỏ nhất trong đoạn.
  5. LCA(u, v): Tìm chỉ số có độ sâu nhỏ nhất trong đoạn \(E[first[u] \dots first[v]]\). Đỉnh tại chỉ số đó chính là LCA.

Độ phức tạp

  • Tiền xử lý DFS: \(O(N)\)
  • Xây dựng Sparse Table: \(O(N \log N)\)
  • Mỗi truy vấn: \(O(1)\)
  • Tổng: \(O(N \log N + Q)\)

Code mẫu

// Giải thuật ett cho bài toán ett-lca\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200005;
const int LOG = 20;
vector<int> adj[MAXN];
int depth[MAXN];
int euler[2 * MAXN];
int first[MAXN];
int euler_depth[2 * MAXN];
int st[2 * MAXN][LOG];
int log_table[2 * MAXN];
int n, q, euler_cnt;

void dfs(int u, int parent, int d) {
    depth[u] = d;
    euler[euler_cnt] = u;
    euler_depth[euler_cnt] = d;
    if (first[u] == -1) first[u] = euler_cnt;
    euler_cnt++;

    for (int v : adj[u]) {
        if (v != parent) {
            dfs(v, u, d + 1);
            euler[euler_cnt] = u;
            euler_depth[euler_cnt] = d;
            euler_cnt++;
        }
    }
}

void build_sparse_table() {
    int m = euler_cnt;
    log_table[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= m; i++)
        log_table[i] = log_table[i / 2] + 1;

    for (int i = 0; i < m; i++)
        st[i][0] = i;

    for (int j = 1; (1 << j) <= m; j++) {
        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < m; i++) {
            int left = st[i][j - 1];
            int right = st[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
            st[i][j] = (euler_depth[left] < euler_depth[right]) ? left : right;
        }
    }
}

int query_rmq(int l, int r) {
    int k = log_table[r - l + 1];
    int left = st[l][k];
    int right = st[r - (1 << k) + 1][k];
    return (euler_depth[left] < euler_depth[right]) ? left : right;
}

int lca(int u, int v) {
    int l = first[u], r = first[v];
    if (l > r) swap(l, r);
    int idx = query_rmq(l, r);
    return euler[idx];
}

int main() {
    // Doc du lieu dau vao
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> q;

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    memset(first, -1, sizeof(first));
    euler_cnt = 0;
    dfs(1, 0, 0);
    build_sparse_table();

    while (q--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        cout << lca(u, v) << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.