Hướng giải của Định lý thặng dư Trung Hoa

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Định lý thặng dư Trung Hoa (CRT)

Phân tích

Đặt \(M = \prod m_i\). Với mỗi \(i\), tính \(M_i = M / m_i\). Tìm nghịch đảo \(inv_i\) của \(M_i\) theo modulo \(m_i\) bằng Extended Euclid. Nghiệm: \(x = \sum r_i \times M_i \times inv_i \pmod{M}\).

Độ phức tạp: \(O(n \log M)\).

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long extendedGcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {
    if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; }
    long long x1, y1;
    long long g = extendedGcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (a / b) * y1;
    return g;
}

long long modInverse(long long a, long long mod) {
    long long x, y;
    extendedGcd(a, mod, x, y);
    return (x % mod + mod) % mod;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<long long> m(n), r(n);
    long long M = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> m[i] >> r[i];
        M *= m[i];
    }
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        long long Mi = M / m[i];
        long long inv = modInverse(Mi % m[i], m[i]);
        ans = (ans + (__int128)r[i] * Mi % M * inv) % M;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.