Hướng giải của Tổng lũy thừa
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Lời giải: Tổng cấp số nhân modulo
Phân tích
Đây là tổng cấp số nhân với công bội \(a\): \(S = a \times (a^n - 1) / (a - 1)\) khi \(a \neq 1\). Dùng lũy thừa nhị phân tính \(a^n\), và nghịch đảo của \((a - 1)\) bằng Fermat.
Cần xử lý trường hợp đặc biệt \(a \equiv 1 \pmod{M}\): \(S \equiv n \pmod{M}\).
Độ phức tạp: \(O(\log n)\).
Code mẫu C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long powerMod(long long a, long long b, long long mod) {
long long res = 1;
a %= mod;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = (__int128)res * a % mod;
a = (__int128)a * a % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
long long a, n, M;
cin >> a >> n >> M;
a %= M;
if (a == 1) {
cout << n % M << endl;
return 0;
}
long long an = powerMod(a, n, M);
long long num = (an - 1 + M) % M;
long long denom = (a - 1 + M) % M;
long long invDenom = powerMod(denom, M - 2, M);
long long ans = (__int128)a * num % M * invDenom % M;
cout << ans << endl;
return 0;
}
Nhận xét