Hướng giải của Truy vấn nặng
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Lời giải cho Truy vấn nặng
Thuật toán
Dùng Heavy Light Decomposition để phân tách cây thành các chuỗi, mỗi truy vấn xử lý trong \(O(log^2 N)\).
Kết hợp HLD với Lazy Propagation Segment Tree để hỗ trợ:
- Cộng thêm \(val\) vào tất cả đỉnh trên đường đi \(u \to v\).
- Tính tổng trên đường đi \(u \to v\).
Lazy SegTree hỗ trợ cập nhật đoạn và truy vấn tổng đoạn trong \(O(\log N)\).
Path update/query: nhảy chain giống path sum nhưng gọi st.update() (lazy) thay vì st.query().
Độ phức tạp
\(O((N + Q) \log^2 N)\)
Hướng dẫn giải
Sử dụng thuật toán phù hợp để giải quyết bài toán.
Mã nguồn C++
// Giải thuật hld cho bài toán hld-heavy-query\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int MAXN = 100005;
int n, q;
vector<int> adj[MAXN];
int parent[MAXN], depth[MAXN], sz[MAXN], heavy[MAXN];
int head[MAXN], pos[MAXN], cur_pos;
ll val[MAXN], arr[MAXN];
void dfs(int u, int p) {
parent[u] = p;
sz[u] = 1;
heavy[u] = -1;
int max_sz = 0;
for (int v : adj[u]) {
if (v == p) continue;
depth[v] = depth[u] + 1;
dfs(v, u);
sz[u] += sz[v];
if (sz[v] > max_sz) {
max_sz = sz[v];
heavy[u] = v;
}
}
}
void decompose(int u, int h) {
head[u] = h;
pos[u] = cur_pos;
arr[cur_pos] = val[u];
cur_pos++;
if (heavy[u] != -1)
decompose(heavy[u], h);
for (int v : adj[u]) {
if (v == parent[u] || v == heavy[u]) continue;
decompose(v, v);
}
}
// Lazy Segment Tree
struct LazySegTree {
vector<ll> tree, lazy;
void init(int n) {
tree.assign(4 * n, 0);
lazy.assign(4 * n, 0);
}
void push(int nd, int tl, int tr) {
if (lazy[nd] != 0) {
tree[nd] += lazy[nd] * (tr - tl + 1);
if (tl != tr) {
lazy[2*nd] += lazy[nd];
lazy[2*nd+1] += lazy[nd];
}
lazy[nd] = 0;
}
}
void build(int nd, int tl, int tr, ll a[]) {
if (tl == tr) { tree[nd] = a[tl]; return; }
int tm = (tl + tr) / 2;
build(2*nd, tl, tm, a);
build(2*nd+1, tm+1, tr, a);
tree[nd] = tree[2*nd] + tree[2*nd+1];
}
void update(int nd, int tl, int tr, int l, int r, ll add) {
push(nd, tl, tr);
if (l > tr || r < tl) return;
if (l <= tl && tr <= r) {
lazy[nd] += add;
push(nd, tl, tr);
return;
}
int tm = (tl + tr) / 2;
update(2*nd, tl, tm, l, r, add);
update(2*nd+1, tm+1, tr, l, r, add);
tree[nd] = tree[2*nd] + tree[2*nd+1];
}
ll query(int nd, int tl, int tr, int l, int r) {
push(nd, tl, tr);
if (l > tr || r < tl) return 0;
if (l <= tl && tr <= r) return tree[nd];
int tm = (tl + tr) / 2;
return query(2*nd, tl, tm, l, r) + query(2*nd+1, tm+1, tr, l, r);
}
} st;
void path_update(int u, int v, ll add) {
while (head[u] != head[v]) {
if (depth[head[u]] > depth[head[v]]) swap(u, v);
st.update(1, 0, n-1, pos[head[v]], pos[v], add);
v = parent[head[v]];
}
if (depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
st.update(1, 0, n-1, pos[u], pos[v], add);
}
ll path_query(int u, int v) {
ll res = 0;
while (head[u] != head[v]) {
if (depth[head[u]] > depth[head[v]]) swap(u, v);
res += st.query(1, 0, n-1, pos[head[v]], pos[v]);
v = parent[head[v]];
}
if (depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
res += st.query(1, 0, n-1, pos[u], pos[v]);
return res;
}
int main() {
// Doc du lieu dau vao
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin >> n >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> val[i];
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
int u, v; cin >> u >> v;
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
dfs(1, -1);
cur_pos = 0;
decompose(1, 1);
st.init(n);
st.build(1, 0, n-1, arr);
while (q--) {
int type; cin >> type;
if (type == 1) {
int u, v; ll add; cin >> u >> v >> add;
path_update(u, v, add);
} else {
int u, v; cin >> u >> v;
cout << path_query(u, v) << '\n';
}
}
return 0;
}
Nhận xét