Hướng giải của Hình chữ nhật bao nhỏ nhất
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
Hình chữ nhật bao nhỏ nhất luôn có một cạnh trùng với một cạnh của bao lồi. Do đó:
- Xây dựng bao lồi.
- Với mỗi cạnh của bao lồi, tìm hình chữ nhật bao có một cạnh trùng với cạnh đó.
- Sử dụng Rotating Calipers để cập nhật bốn điểm: leftmost, rightmost, topmost, bottommost tương ứng với hướng của cạnh hiện tại.
Công thức: với một hướng \(\vec{v}\) (vector cạnh) và hướng vuông góc \(\vec{n}\), chiều rộng là hiệu lớn nhất của tích vô hướng với \(\vec{v}\), chiều cao là hiệu lớn nhất của tích vô hướng với \(\vec{n}\). Diện tích = rộng × cao.
Độ phức tạp: \(O(N \log N)\).
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Point { long long x, y; };
long long cross(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x);
}
long long dot(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
return (b.x - a.x) * (c.x - a.x) + (b.y - a.y) * (c.y - a.y);
}
long long dot(const Point& v, const Point& p) {
return v.x * p.x + v.y * p.y;
}
vector<Point> build_hull(vector<Point> p) {
int n = p.size();
sort(p.begin(), p.end(), [](const Point& a, const Point& b) {
return a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y;
});
vector<Point> hull;
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (hull.size() >= 2 && cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), p[i]) <= 0)
hull.pop_back();
hull.push_back(p[i]);
}
int lower = hull.size();
for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
while (hull.size() > lower && cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), p[i]) <= 0)
hull.pop_back();
hull.push_back(p[i]);
}
hull.pop_back();
return hull;
}
double min_area_rect(const vector<Point>& hull) {
int m = hull.size();
double ans = 1e30;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int j = (i + 1) % m;
double vx = hull[j].x - hull[i].x;
double vy = hull[j].y - hull[i].y;
double len = sqrt(vx * vx + vy * vy);
vx /= len; vy /= len;
double nx = -vy, ny = vx;
double min_v = 0, max_v = 0, min_n = 0, max_n = 0;
for (int k = 0; k < m; k++) {
double pv = (hull[k].x - hull[i].x) * vx + (hull[k].y - hull[i].y) * vy;
double pn = (hull[k].x - hull[i].x) * nx + (hull[k].y - hull[i].y) * ny;
if (k == 0) min_v = max_v = pv, min_n = max_n = pn;
else {
min_v = min(min_v, pv); max_v = max(max_v, pv);
min_n = min(min_n, pn); max_n = max(max_n, pn);
}
}
double width = max_v - min_v;
double height = max_n - min_n;
ans = min(ans, width * height);
}
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
int n; cin >> n;
vector<Point> p(n);
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> p[i].x >> p[i].y;
vector<Point> hull = build_hull(p);
cout << fixed << setprecision(6) << min_area_rect(hull) << "\n";
return 0;
}
Nhận xét