Hướng giải của Đoạn Giao Có Mút Phải Lớn Nhất

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải: Đoạn Giao Có Mút Phải Lớn Nhất

Phân tích bài toán

Yêu cầu tìm đoạn thẳng giao với \([A, B]\) có mút phải \(R_i\) lớn nhất. Nhận xét:

  • Một đoạn thẳng giao với \([A, B]\) khi \(L_i \le B\) và \(R_i \ge A\).
  • Giả sử ta sort các đoạn thẳng tăng dần theo đầu mút trái \(L\). Khi đó các đoạn thẳng thỏa mãn \(L_i \le B\) sẽ nằm trên một tiền tố liên tiếp \([0, idx]\).
  • Nhiệm vụ là tìm trong số các đoạn thẳng thuộc tiền tố này đoạn có \(R\) lớn nhất, sau đó kiểm tra xem \(R\) lớn nhất đó có \(\ge A\) hay không. Nếu có, đó chính là kết quả; nếu không, không tồn tại đoạn giao nào thỏa mãn. Ta có thể tiền xử lý mảng pref_max_idx lưu chỉ số của phần tử có mút phải lớn nhất trên các tiền tố tăng dần của mảng đã sắp xếp theo \(L\). Khi truy vấn \([A, B]\):
  • Sử dụng tìm kiếm nhị phân tìm chỉ số \(idx\) lớn nhất thỏa mãn \(L_{idx} \le B\).
  • Lấy ra đoạn có mút phải lớn nhất trong tiền tố \([0, idx]\) qua chỉ số lưu trong pref_max_idx[idx].
  • Kiểm tra xem mút phải của đoạn này có \(\ge A\) không. Nếu có, in ra kết quả. Nếu không, in ra -1.
Độ phức tạp
  • Thời gian: \(O(N \log N)\) để sắp xếp các đoạn thẳng ban đầu và \(O(\log N)\) mỗi truy vấn bằng tìm kiếm nhị phân.
  • Không gian: \(O(N)\) bộ nhớ.
Mã nguồn C++ mẫu
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Interval {
    int l, r;
    bool operator<(const Interval& other) const {
        if (l != other.l) return l < other.l;
        return r < other.r;
    }
};

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int n, q;
    if (!(cin >> n >> q)) return 0;
    vector<Interval> intervals(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> intervals[i].l >> intervals[i].r;
    }
    sort(intervals.begin(), intervals.end());

    vector<int> pref_max_idx(n);
    pref_max_idx[0] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int prev_best = pref_max_idx[i - 1];
        if (intervals[i].r > intervals[prev_best].r) {
            pref_max_idx[i] = i;
        } else if (intervals[i].r == intervals[prev_best].r) {
            pref_max_idx[i] = (intervals[i].l < intervals[prev_best].l) ? i : prev_best;
        } else {
            pref_max_idx[i] = prev_best;
        }
    }

    while (q--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;

        int low = 0, high = n - 1, idx = -1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (intervals[mid].l <= b) {
                idx = mid;
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }

        if (idx == -1) {
            cout << -1 << "\n";
            continue;
        }

        int best_pos = pref_max_idx[idx];
        if (intervals[best_pos].r >= a) {
            cout << intervals[best_pos].l << " " << intervals[best_pos].r << "\n";
        } else {
            cout << -1 << "\n";
        }
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.