Hướng giải của Độ Dài Giao Nhỏ Nhất

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải: Độ Dài Giao Nhỏ Nhất

Phân tích bài toán

Yêu cầu tìm độ dài \(R_i - L_i\) nhỏ nhất của các đoạn giao với \([A, B]\). Điều kiện giao nhau: \(L_i \le B\) và \(R_i \ge A\). Ta xử lý offline bằng cách sắp xếp các đoạn thẳng theo \(L\) tăng dần và các truy vấn theo \(B\) tăng dần:

  • Duy trì một cây Segment Tree RMQ quản lý các giá trị độ dài \(R_i - L_i\). Các vị trí trong Segment Tree ứng với tọa độ đầu mút phải \(R_i\) đã được nén.
  • Khi xử lý đến truy vấn có giới hạn phải là \(B\), ta chèn tất cả các đoạn thẳng thỏa mãn \(L_i \le B\) vào Segment Tree tại vị trí tương ứng với mút phải \(R_i\) của nó.
  • Sau đó, ta truy vấn tìm giá trị cực tiểu trong Segment Tree tại khoảng chỉ số tương ứng với tọa độ \([A, +\infty]\). Các đoạn thẳng tại vùng này đảm bảo có mút phải \(R_i \ge A\).
Độ phức tạp
  • Thời gian: \(O((N + Q) \log(N + Q))\) nhờ kỹ thuật xử lý offline và Segment Tree.
  • Không gian: \(O(N + Q)\) bộ nhớ.
Mã nguồn C++ mẫu
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const long long INF = 2e18;

struct Interval {
    int l, r;
    bool operator<(const Interval& other) const {
        return l < other.l;
    }
};

struct Query {
    int a, b, id;
    bool operator<(const Query& other) const {
        return b < other.b;
    }
};

vector<long long> tree_st;
int sz;

void update(int id, int lo, int hi, int pos, long long val) {
    if (lo == hi) {
        tree_st[id] = min(tree_st[id], val);
        return;
    }
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    if (pos <= mid) update(2 * id, lo, mid, pos, val);
    else update(2 * id + 1, mid + 1, hi, pos, val);
    tree_st[id] = min(tree_st[2 * id], tree_st[2 * id + 1]);
}

long long query_st(int id, int lo, int hi, int l, int r) {
    if (r < lo || hi < l) return INF;
    if (l <= lo && hi <= r) return tree_st[id];
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    return min(query_st(2 * id, lo, mid, l, r),
               query_st(2 * id + 1, mid + 1, hi, l, r));
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int n, q;
    if (!(cin >> n >> q)) return 0;
    vector<Interval> intervals(n);
    vector<int> coords;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> intervals[i].l >> intervals[i].r;
        coords.push_back(intervals[i].r);
    }
    vector<Query> queries(q);
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        cin >> queries[i].a >> queries[i].b;
        queries[i].id = i;
        coords.push_back(queries[i].a);
    }

    sort(coords.begin(), coords.end());
    coords.erase(unique(coords.begin(), coords.end()), coords.end());
    auto get_pos = [&](int val) {
        return lower_bound(coords.begin(), coords.end(), val) - coords.begin();
    };

    sz = coords.size();
    tree_st.assign(4 * sz, INF);

    sort(intervals.begin(), intervals.end());
    sort(queries.begin(), queries.end());

    vector<long long> ans(q);
    int ptr = 0;
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        while (ptr < n && intervals[ptr].l <= queries[i].b) {
            int pos = get_pos(intervals[ptr].r);
            update(1, 0, sz - 1, pos, (long long)intervals[ptr].r - intervals[ptr].l);
            ptr++;
        }
        int pos_a = get_pos(queries[i].a);
        long long res = query_st(1, 0, sz - 1, pos_a, sz - 1);
        ans[queries[i].id] = (res == INF) ? -1 : res;
    }

    for (int i = 0; i < q; i++) {
        cout << ans[i] << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.