Hướng giải của Dãy số truy hồi
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Ý tưởng: Biểu diễn dãy dưới dạng ma trận: [F(n), F(n-1)]^T = [[a, b], [1, 0]]^(n-1) × [F(1), F(0)]^T. Dùng lũy thừa nhị phân trên ma trận 2×2 để tính trong O(log n).
Độ phức tạp: O(log n) thời gian, O(1) bộ nhớ.
C++
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
ll MOD;
struct Mat {
ll a[2][2];
Mat() { memset(a, 0, sizeof a); }
Mat operator*(const Mat &o) const {
Mat r;
for (int i = 0; i < 2; i++)
for (int k = 0; k < 2; k++)
if (a[i][k])
for (int j = 0; j < 2; j++)
r.a[i][j] = (r.a[i][j] + a[i][k] * o.a[k][j]) % MOD;
return r;
}
};
Mat pow_mat(Mat m, ll e) {
Mat r;
r.a[0][0] = r.a[1][1] = 1;
while (e) {
if (e & 1) r = r * m;
m = m * m;
e >>= 1;
}
return r;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
ll n, a, b, f0, f1;
cin >> n >> a >> b >> f0 >> f1 >> MOD;
if (n == 0) { cout << f0 % MOD << "\n"; return 0; }
if (n == 1) { cout << f1 % MOD << "\n"; return 0; }
Mat base;
base.a[0][0] = a % MOD; base.a[0][1] = b % MOD;
base.a[1][0] = 1;
Mat res = pow_mat(base, n - 1);
cout << (res.a[0][0] * f1 + res.a[0][1] * f0) % MOD << "\n";
return 0;
}Python
python
def mat_mul(A, B, MOD):
return [
[(A[0][0]*B[0][0] + A[0][1]*B[1][0]) % MOD,
(A[0][0]*B[0][1] + A[0][1]*B[1][1]) % MOD],
[(A[1][0]*B[0][0] + A[1][1]*B[1][0]) % MOD,
(A[1][0]*B[0][1] + A[1][1]*B[1][1]) % MOD]
]
def mat_pow(M, e, MOD):
R = [[1, 0], [0, 1]]
while e:
if e & 1:
R = mat_mul(R, M, MOD)
M = mat_mul(M, M, MOD)
e >>= 1
return R
n, a, b, f0, f1, MOD = map(int, input().split())
if n == 0:
print(f0 % MOD)
elif n == 1:
print(f1 % MOD)
else:
M = [[a % MOD, b % MOD], [1, 0]]
P = mat_pow(M, n - 1, MOD)
print((P[0][0] * f1 + P[0][1] * f0) % MOD)
Nhận xét