Hướng giải của Tổ hợp Lucas

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Ý tưởng: Định lý Lucas: C(n,k) mod p = ∏ C(n_i, k_i) mod p với n_i, k_i là chữ số của n, k trong hệ cơ số p. Precompute factorial và inverse factorial mod p để tính C(n_i, k_i) nhanh.

Độ phức tạp: O(p + log_p n) thời gian, O(p) bộ nhớ.

C++

cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

ll C_small(ll n, ll k, ll p, vector<ll>& fact, vector<ll>& inv_fact) {
    if (k > n) return 0;
    return fact[n] * inv_fact[k] % p * inv_fact[n - k] % p;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    ll n, k, p;
    cin >> n >> k >> p;
    vector<ll> fact(p), inv_fact(p);
    fact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < p; i++)
        fact[i] = fact[i - 1] * i % p;
    inv_fact[p - 1] = 1;
    ll base = fact[p - 1], exp = p - 2;
    while (exp) {
        if (exp & 1) inv_fact[p - 1] = inv_fact[p - 1] * base % p;
        base = base * base % p;
        exp >>= 1;
    }
    for (int i = p - 2; i >= 0; i--)
        inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % p;
    ll res = 1;
    while (n > 0 || k > 0) {
        ll ni = n % p, ki = k % p;
        if (ki > ni) { res = 0; break; }
        res = res * C_small(ni, ki, p, fact, inv_fact) % p;
        n /= p; k /= p;
    }
    cout << res << "\n";
    return 0;
}

Python

python
n, k, p = map(int, input().split())

fact = [1] * p
for i in range(1, p):
    fact[i] = fact[i - 1] * i % p

inv_fact = [1] * p
inv_fact[p - 1] = pow(fact[p - 1], p - 2, p)
for i in range(p - 2, -1, -1):
    inv_fact[i] = inv_fact[i + 1] * (i + 1) % p

def C_small(n, k):
    if k > n: return 0
    return fact[n] * inv_fact[k] % p * inv_fact[n - k] % p

res = 1
while n or k:
    ni, ki = n % p, k % p
    if ki > ni:
        res = 0
        break
    res = res * C_small(ni, ki) % p
    n //= p
    k //= p
print(res)

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.