Hướng giải của Bộ ghép kích thước lớn
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Lời giải
Phân tích
Bài toán yêu cầu tìm bộ ghép lớn nhất trên đồ thị hai phía với kích thước lớn (\(N, M \le 50000\)). Thuật toán Kuhn với độ phức tạp \(O(N \cdot K)\) có thể không đủ nhanh. Cần sử dụng thuật toán Hopcroft-Karp.
Thuật toán
Hopcroft-Karp cải tiến Kuhn bằng cách tìm nhiều đường tăng cặp trong một lần BFS:
- BFS: Xây dựng đồ thị phân lớp từ các đỉnh trái chưa ghép. Khoảng cách tới đỉnh phải chưa ghép là \(d\).
- DFS: Tìm các đường tăng cặp chỉ sử dụng các cạnh đưa tới lớp tiếp theo.
- Lặp lại cho đến khi không tìm thấy đường tăng cặp nào.
Độ phức tạp: \(O(\sqrt{N} \cdot K)\), rất nhanh với đồ thị lớn.
Mã nguồn C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n_left, n_right, m;
cin >> n_left >> n_right >> m;
vector<vector<int>> adj(n_left + 1);
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
adj[u].push_back(v);
}
vector<int> matchR(n_right + 1, 0);
vector<int> matchL(n_left + 1, 0);
vector<int> dist(n_left + 1, 0);
auto bfs = [&]() -> bool {
queue<int> q;
for (int u = 1; u <= n_left; u++) {
if (matchL[u] == 0) {
dist[u] = 0;
q.push(u);
} else {
dist[u] = INT_MAX;
}
}
int min_dist = INT_MAX;
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
if (dist[u] < min_dist) {
for (int v : adj[u]) {
if (matchR[v] == 0) {
min_dist = dist[u] + 1;
} else if (dist[matchR[v]] == INT_MAX) {
dist[matchR[v]] = dist[u] + 1;
q.push(matchR[v]);
}
}
}
}
return min_dist != INT_MAX;
};
function<bool(int)> dfs = [&](int u) -> bool {
for (int v : adj[u]) {
if (matchR[v] == 0) {
matchR[v] = u;
matchL[u] = v;
return true;
}
if (dist[matchR[v]] == dist[u] + 1 && dfs(matchR[v])) {
matchR[v] = u;
matchL[u] = v;
return true;
}
}
dist[u] = INT_MAX;
return false;
};
int ans = 0;
while (bfs()) {
for (int u = 1; u <= n_left; u++) {
if (matchL[u] == 0 && dfs(u)) ans++;
}
}
cout << ans << "\n";
return 0;
}
Nhận xét