Hướng giải của Tổng GCD dùng Möbius

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Tổng GCD dùng Möbius

Phân tích

Dùng công thức: \(\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \gcd(i, j) = \sum_{d=1}^N d \times \sum_{i,j} [\gcd(i,j)=d]\). Đặt \(cnt[d] = \lfloor N/d \rfloor\), số cặp có \(\gcd = d\) là \(\sum_{k=1}^{\lfloor N/d \rfloor} \mu(k) \times cnt[kd]^2\).

Sàng Möbius trước, tính lồng.

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int N; cin >> N;
    vector<int> mu(N + 1, 0);
    vector<int> primes;
    vector<bool> isPrime(N + 1, true);
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (isPrime[i]) { primes.push_back(i); mu[i] = -1; }
        for (int p : primes) {
            if (i * p > N) break;
            isPrime[i * p] = false;
            if (i % p == 0) { mu[i * p] = 0; break; }
            else mu[i * p] = -mu[i];
        }
    }
    long long ans = 0;
    for (int d = 1; d <= N; d++) {
        long long cnt = N / d;
        long long pairs = 0;
        for (int k = 1; k <= cnt; k++) {
            if (mu[k] == 0) continue;
            long long c = cnt / k;
            pairs += (long long)mu[k] * c * c;
        }
        ans += d * pairs;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.