Hướng giải của Lũy thừa modulo bằng định lý Euler

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Lũy thừa modulo bằng định lý Euler

Phân tích

Dùng định lý Euler: \(a^n \equiv a^{n \bmod \varphi(M)} \pmod{M}\) (vì \(a^{\varphi(M)} \equiv 1 \pmod{M}\)). Tính \(\varphi(M)\), rút gọn số mũ, dùng lũy thừa nhị phân.

Độ phức tạp: \(O(\sqrt{M} + \log n)\).

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long phi(long long n) {
    long long res = n;
    for (long long p = 2; p * p <= n; p++) {
        if (n % p == 0) {
            while (n % p == 0) n /= p;
            res -= res / p;
        }
    }
    if (n > 1) res -= res / n;
    return res;
}

long long powerMod(long long a, long long b, long long mod) {
    long long res = 1;
    a %= mod;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (__int128)res * a % mod;
        a = (__int128)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    long long a, n, M;
    cin >> a >> n >> M;
    // Rút gọn số mũ theo định lý Euler
    long long pm = phi(M);
    if (n >= pm) n = n % pm + pm;  // Cộng thêm pm để tránh trường hợp n % pm == 0
    cout << powerMod(a, n, M) << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.