Hướng giải của Tổng GCD với Phi Euler

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Tổng GCD với hàm Euler

Phân tích

Dùng công thức: \(\sum_{i=1}^N \gcd(i, N) = \sum_{d|N} d \times \varphi(N/d)\). Chứng minh: Nhóm các số \(i\) có \(\gcd(i, N) = d\), khi đó \(\gcd(i/d, N/d) = 1\), có \(\varphi(N/d)\) số. Duyệt ước của \(N\), tính \(\varphi(N/d)\), cộng dồn.

Độ phức tạp: \(O(\sqrt{N} \cdot \log N)\).

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long phi(long long n) {
    long long res = n;
    for (long long p = 2; p * p <= n; p++) {
        if (n % p == 0) {
            while (n % p == 0) n /= p;
            res -= res / p;
        }
    }
    if (n > 1) res -= res / n;
    return res;
}

int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    long long ans = 0;
    for (long long d = 1; d * d <= N; d++) {
        if (N % d == 0) {
            ans += d * phi(N / d);
            if (d != N / d)
                ans += (N / d) * phi(d);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.