Hướng giải của Cấp của số modulo
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Lời giải: Cấp của số modulo
Phân tích
Theo định lý Euler, \(a^{\varphi(M)} \equiv 1 \pmod{M}\). Cấp \(k\) là ước của \(\varphi(M)\). Duyệt các ước của \(\varphi(M)\), kiểm tra điều kiện \(a^k \equiv 1 \pmod{M}\), lấy ước nhỏ nhất thỏa mãn. Dùng lũy thừa nhị phân để kiểm tra nhanh.
Độ phức tạp: \(O(\sqrt{\varphi(M)} \cdot \log M)\).
Code mẫu C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long powerMod(long long a, long long b, long long mod) {
long long res = 1;
a %= mod;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = (__int128)res * a % mod;
a = (__int128)a * a % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
long long phi(long long n) {
long long res = n;
for (long long p = 2; p * p <= n; p++) {
if (n % p == 0) {
while (n % p == 0) n /= p;
res -= res / p;
}
}
if (n > 1) res -= res / n;
return res;
}
int main() {
long long a, M;
cin >> a >> M;
long long pm = phi(M);
long long ans = pm;
for (long long d = 1; d * d <= pm; d++) {
if (pm % d == 0) {
if (powerMod(a, d, M) == 1) {
ans = min(ans, d);
}
long long e = pm / d;
if (e != d && powerMod(a, e, M) == 1)
ans = min(ans, e);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
Nhận xét