Hướng giải của Căn nguyên thủy

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Căn nguyên thủy

Phân tích

Phân tích \(p-1\) ra thừa số nguyên tố. Số \(g\) là căn nguyên thủy nếu \(g^{(p-1)/q} ot\equiv 1 \pmod{p}\) với mọi ước nguyên tố \(q\) của \(p-1\).

Độ phức tạp: \(O(\sqrt{p} + \log p \cdot k)\) với \(k\) là số ước nguyên tố.

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll powerMod(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = 1;
    a %= p;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (__int128)res * a % p;
        a = (__int128)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll p;
    cin >> p;

    // Phan tich p-1 ra thua so nguyen to
    ll phi = p - 1;
    vector<ll> factors;
    ll n = phi;

    for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            factors.push_back(i);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) factors.push_back(n);

    // Duyet g tu 2 den p-1
    for (ll g = 2; g < p; g++) {
        bool ok = true;

        // Kiem tra dieu kien: g^{(p-1)/q} != 1 voi moi uoc nguyen to q
        for (ll q : factors) {
            if (powerMod(g, phi / q, p) == 1) {
                ok = false;
                break;
            }
        }

        if (ok) {
            cout << g << endl;
            return 0;
        }
    }

    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.