Hướng giải của Căn bậc hai modulo

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Lời giải: Căn bậc hai modulo

Phân tích

Dùng Tonelli-Shanks. Nếu \(p \equiv 3 \pmod{4}\), nghiệm đơn giản: \(x \equiv a^{(p+1)/4} \pmod{p}\).

Độ phức tạp: \(O(\log^2 p)\).

Code mẫu C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll powerMod(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = 1;
    a %= p;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) res = (__int128)res * a % p;
        a = (__int128)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll a, p;
    cin >> a >> p;

    // Truong hop a = 0
    if (a == 0) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    // Kiem tra su ton tai nghiem bang Euler criterion
    if (powerMod(a, (p - 1) / 2, p) != 1) {
        cout << -1 << endl;
        return 0;
    }

    // Truong hop dac biet: p ≡ 3 (mod 4)
    if (p % 4 == 3) {
        cout << powerMod(a, (p + 1) / 4, p) << endl;
        return 0;
    }

    // Tonelli-Shanks cho truong hop tong quat
    ll Q = p - 1, S = 0;
    while (Q % 2 == 0) {
        Q /= 2;
        S++;
    }

    // Tim z la non-residue
    ll z = 2;
    while (powerMod(z, (p - 1) / 2, p) != p - 1) z++;

    ll m = S;
    ll c = powerMod(z, Q, p);
    ll t = powerMod(a, Q, p);
    ll r = powerMod(a, (Q + 1) / 2, p);

    while (t != 1) {
        // Tim i nho nhat sao cho t^(2^i) = 1
        ll tmp = t;
        ll i = 0;
        while (tmp != 1) {
            tmp = (__int128)tmp * tmp % p;
            i++;
        }

        // Cap nhat cac bien
        ll b = c;
        for (ll j = 0; j < m - i - 1; j++) {
            b = (__int128)b * b % p;
        }
        m = i;
        c = (__int128)b * b % p;
        t = (__int128)t * c % p;
        r = (__int128)r * b % p;
    }

    cout << r << endl;
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.