Hướng giải của Cạnh thứ K

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải

Sử dụng thuật toán phù hợp để giải quyết bài toán.

Lời giải

Dùng kỹ thuật RMQ (Range Minimum Query) với Sparse Table hoặc Segment Tree.

Bài toán yêu cầu tìm phần tử nhỏ thứ \(k\) trên đường đi. Với \(N \le 50000\), ta có thể dùng binary lifting để tìm LCA, sau đó thu thập tất cả các cạnh trên đường đi vào một mảng, sắp xếp và lấy phần tử thứ \(k\).

Tư tưởng:

  • Gán mỗi cạnh cho đỉnh con (đỉnh sâu hơn).
  • Tìm LCA của \(u\) và \(v\).
  • Duyệt từ \(u\) lên LCA và từ \(v\) lên LCA để thu thập các cạnh.
  • Sắp xếp mảng và in ra phần tử thứ \(k\).

Độ phức tạp: \(O(N \log N)\) tiền xử lý, \(O(L \log L)\) mỗi truy vấn (với \(L\) là độ dài đường đi). Trong trường hợp trung bình \(L \approx \log N\) nên chạy nhanh.

// Giải thuật rmqt cho bài toán rmqt-kth-edge\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // Doc du lieu dau vao
    ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL);
    int n; cin >> n;
    vector<vector<pair<int,int>>> adj(n+1);
    for (int i=0; i<n-1; i++) {
        int u,v,w; cin>>u>>v>>w;
        adj[u].push_back({v,w}); adj[v].push_back({u,w});
    }

    int LOG = __lg(n) + 1;
    vector<int> depth(n+1);
    vector<vector<int>> up(n+1, vector<int>(LOG, 0));
    vector<long long> val(n+1);

    queue<int> bfs_q;
    bfs_q.push(1);
    up[1][0] = 0;
    while (!bfs_q.empty()) {
        int u = bfs_q.front(); bfs_q.pop();
        for (auto [v,w] : adj[u]) if (v != up[u][0]) {
            depth[v] = depth[u] + 1;
            up[v][0] = u; val[v] = w; bfs_q.push(v);
        }
    }

    for (int j=1; j<LOG; j++)
        for (int i=1; i<=n; i++) up[i][j] = up[up[i][j-1]][j-1];

    auto lca = [&](int u, int v) {
        if (depth[u] < depth[v]) swap(u,v);
        int d = depth[u] - depth[v];
        for (int j=0; j<LOG; j++) if (d & (1<<j)) u = up[u][j];
        if (u == v) return u;
        for (int j=LOG-1; j>=0; j--)
            if (up[u][j] != up[v][j]) { u=up[u][j]; v=up[v][j]; }
        return up[u][0];
    };

    int q; cin >> q;
    while (q--) {
        int u,v,k; cin>>u>>v>>k;
        int w = lca(u,v);
        vector<long long> e;
        while (u != w) { e.push_back(val[u]); u = up[u][0]; }
        while (v != w) { e.push_back(val[v]); v = up[v][0]; }
    sort(e.begin(), e.end());
    // Sap xep mang
        cout << e[k-1] << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.