Hướng giải của Cạnh nhỏ nhất

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải

Sử dụng thuật toán phù hợp để giải quyết bài toán.

Lời giải

Dùng kỹ thuật RMQ (Range Minimum Query) với Sparse Table hoặc Segment Tree.

Sử dụng Binary Lifting để lưu giá trị nhỏ nhất trên từng đoạn nhảy.

Tư tưởng:

  • Gốc cây tại đỉnh \(1\). Gán mỗi cạnh cho đỉnh con (đỉnh sâu hơn).
  • Xây dựng bảng \(up[v][j]\) và \(minEdge[v][j]\) — giá trị nhỏ nhất trên đường từ \(v\) lên \(up[v][j]\).
  • Truy vấn \((u,v)\): đưa \(u,v\) về cùng độ sâu, nhảy lên LCA, lấy \(min\) trên đường đi.

Độ phức tạp: \(O(N \log N)\) tiền xử lý, \(O(\log N)\) mỗi truy vấn.

// Giải thuật rmqt cho bài toán rmqt-min-path\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // Doc du lieu dau vao
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    int n;
    cin >> n;
    int LOG = __lg(n) + 1;

    // up[v][j]: to tien thu 2^j cua dinh v
    // minEdge[v][j]: gia tri nho nhat tren doan v -> up[v][j]
    vector<vector<int>> up(n + 1, vector<int>(LOG, 0));
    vector<vector<int>> minEdge(n + 1, vector<int>(LOG, INT_MAX));
    vector<int> depth(n + 1, 0);
    vector<vector<pair<int,int>>> adj(n + 1);

    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
        adj[v].push_back({u, w});
    }

    // BFS de tinh depth, up[][0], minEdge[][0]
    queue<int> bfs_q;
    bfs_q.push(1);
    while (!bfs_q.empty()) {
        int u = bfs_q.front(); bfs_q.pop();
        for (auto [v, w] : adj[u]) {
            if (v == up[u][0]) continue;
            depth[v] = depth[u] + 1;
            up[v][0] = u;
            minEdge[v][0] = w;
            bfs_q.push(v);
        }
    }

    // Xay bang Binary Lifting
    for (int j = 1; j < LOG; j++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int p = up[i][j-1];
            up[i][j] = up[p][j-1];
            minEdge[i][j] = min(minEdge[i][j-1], minEdge[p][j-1]);
        }
    }

    auto query = [&](int u, int v) -> long long {
        if (depth[u] < depth[v]) swap(u, v);
        long long ans = LLONG_MAX;
        int diff = depth[u] - depth[v];
        for (int j = 0; j < LOG; j++) {
            if (diff & (1 << j)) {
                ans = min(ans, (long long)minEdge[u][j]);
                u = up[u][j];
            }
        }
        if (u == v) return ans;
        for (int j = LOG - 1; j >= 0; j--) {
            if (up[u][j] != up[v][j]) {
                ans = min(ans, (long long)min(minEdge[u][j], minEdge[v][j]));
                u = up[u][j];
                v = up[v][j];
            }
        }
        ans = min(ans, (long long)min(minEdge[u][0], minEdge[v][0]));
        return ans;
    };

    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        cout << query(u, v) << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.