Hướng giải của Bảy số AND
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Lời giải: Bảy số AND
Phân tích
Tính mảng \(cnt[mask]\) = số phần tử \(A_i\) sao cho \(A_i = mask\).
Dùng SOS DP tính \(sup[mask]\) = tổng số phần tử có giá trị là siêu tập (superset) của \(mask\). Sau đó tính \(total[mask] = sup[mask]^7\) (số bộ 7-tuple có AND là siêu tập của mask). Cuối cùng dùng inclusion-exclusion (ngược SOS) để tính số bộ có AND chính xác bằng 0.
Độ phức tạp
\(O(m \times 2^m + N)\).
Code mẫu C++
// Giải thuật sos cho bài toán sos-seven-and\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
long long modPow(long long a, long long b) {
long long r = 1;
while (b) { if (b & 1) r = r * a % MOD; a = a * a % MOD; b >>= 1; }
return r;
}
int main() {
// Doc du lieu dau vao
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
int n, m; cin >> n >> m;
int M = 1 << m;
vector<long long> cnt(M, 0);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int x; cin >> x;
cnt[x]++;
}
// SOS DP: sup[mask] = sum_{superset s of mask} cnt[s]
vector<long long> sup = cnt;
for (int i = 0; i < m; ++i)
for (int mask = M - 1; mask >= 0; --mask)
if (!(mask & (1 << i)))
sup[mask] = (sup[mask] + sup[mask | (1 << i)]) % MOD;
// total[mask] = sup[mask]^7
vector<long long> total(M);
for (int mask = 0; mask < M; ++mask)
total[mask] = modPow(sup[mask], 7);
// Inclusion-exclusion nguoc: f[mask] = so bo co AND chinh xac = mask
for (int i = 0; i < m; ++i)
for (int mask = 0; mask < M; ++mask)
if (!(mask & (1 << i)))
total[mask] = (total[mask] - total[mask | (1 << i)] + MOD) % MOD;
cout << total[0] << "\n";
return 0;
}
Nhận xét