Hướng giải của LCM Trên Đoạn
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Hướng dẫn giải
LCM (bội số chung nhỏ nhất) là phép toán kết hợp và luỹ đẳng:
- Kết hợp: \(\operatorname{lcm}(a, \operatorname{lcm}(b, c)) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)\)
- Luỹ đẳng: \(\operatorname{lcm}(a, a) = a\)
Do đó, Sparse Table hoàn toàn phù hợp để trả lời truy vấn LCM trên đoạn tĩnh.
Công thức kết hợp: \(\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{a}{\gcd(a, b)} \times b\)
Vì LCM có thể rất lớn, ta lưu trực tiếp bằng kiểu \(long long\) và modulo \(10^9 + 7\) khi in kết quả. Với giá trị \(a_i \le 10^5\) và đoạn ngắn, LCM không tràn \(long long\) (64-bit).
Xây dựng Sparse Table trực tiếp cho LCM, mỗi truy vấn trả lời trong \(O(1)\).
Độ phức tạp: Tiền xử lý \(O(N \log N)\), mỗi truy vấn \(O(1)\).
Mã nguồn C++
// Giải thuật st cho bài toán st-range-lcm\n#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int LOG = 17;
const long long MOD = 1000000007;
int main() {
// Doc du lieu dau vao
ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL);
int n, q; cin >> n >> q;
vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
vector<vector<long long>> st(LOG, vector<long long>(n));
for (int i = 0; i < n; i++) st[0][i] = a[i];
auto lcm = [&](long long x, long long y) {
return x / __gcd((int)x, (int)y) * y;
};
for (int k = 1; k < LOG; k++)
for (int i = 0; i + (1 << k) <= n; i++)
st[k][i] = lcm(st[k - 1][i], st[k - 1][i + (1 << (k - 1))]);
vector<int> lg(n + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++) lg[i] = lg[i / 2] + 1;
while (q--) {
int l, r; cin >> l >> r; l--; r--;
int k = lg[r - l + 1];
long long ans = lcm(st[k][l], st[k][r - (1 << k) + 1]);
cout << ans % MOD << "\n";
}
}
Nhận xét