Hướng giải của Tổng tổ hợp theo bội của p
Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.
Tác giả:
Lời giải: Tổng tổ hợp theo bội của p
Phân tích
Dùng Lucas: Với \(n_i, k_i\) là chữ số cơ số \(p\). Tổng các \(C_n^k\) với \(k \equiv 0 \pmod{p}\) (tức \(k_0 = 0\)). Kết quả: \(\prod_{i=0}^m \left( \sum_{k_i=0}^{n_i} C_{n_i}^{k_i} \right)\) với \(k_0 = 0\) cố định. Hay: \(S = C_{n_0}^0 \times \prod_{i=1}^m 2^{n_i} \pmod{p}\).
Code mẫu C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long powerMod(long long a, long long b, long long mod) {
long long res = 1;
a %= mod;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = (__int128)res * a % mod;
a = (__int128)a * a % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
long long nCk_small(long long n, long long k, long long p, const vector<long long>& fact, const vector<long long>& inv_fact) {
if (k > n) return 0;
return fact[n] * inv_fact[k] % p * inv_fact[n - k] % p;
}
int main() {
long long n, p;
cin >> n >> p;
// Precompute factorial up to p
vector<long long> fact(p + 1), inv_fact(p + 1);
fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= p; i++) fact[i] = fact[i-1] * i % p;
inv_fact[p] = powerMod(fact[p], p - 2, p);
for (int i = p - 1; i >= 0; i--)
inv_fact[i] = inv_fact[i+1] * (i + 1) % p;
// S = sum_{k % p == 0} C(n, k) mod p
long long ans = 1;
while (n > 0 || ans == 1) {
long long ni = n % p;
// For k0 = 0 only: C(ni, 0) = 1
if (ni == 0) {
ans = ans * 1 % p;
} else {
// Sum_{ki=0}^{ni} C(ni, ki) = 2^{ni}
ans = ans * powerMod(2, ni, p) % p;
}
// But wait - we need k0 = 0 only, and all other ki free
// Actually the formula is: S = C(n0, 0) * prod_{i>=1} 2^{ni}
// First digit (i=0) must be 0, others can be anything
// Re-process:
break;
}
// Correct approach: first digit of k is 0 (k0=0)
// Use: S = C(n0, 0) * prod_{i>=1} 2^{ni}
long long n0 = n % p;
ans = nCk_small(n0, 0, p, fact, inv_fact); // C(n0, 0) = 1, but keep general
n /= p;
while (n > 0) {
long long ni = n % p;
ans = ans * powerMod(2, ni, p) % p;
n /= p;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
Nhận xét