Hướng giải của K-th Smallest Trên Đoạn

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải: K-th Smallest Trên Đoạn

Phân tích bài toán

Yêu cầu tìm phần tử nhỏ thứ \(K\) trên đoạn \([L, R]\). Wavelet Tree quản lý khoảng giá trị \([lo, hi]\). Tại mỗi nút, ta đếm số lượng phần tử của đoạn con đi sang con trái thông qua mảng cộng dồn \(B\):

Gọi \(inLeft = B[R] - B[L-1]\) là số phần tử thuộc đoạn con đi sang con trái (có giá trị \(\le mid\)).
Nếu \(K \le inLeft\), ta biết phần tử nhỏ thứ \(K\) chắc chắn nằm ở nửa bên trái. Ta đệ quy sang con trái với phạm vi mới của đoạn con là \([B[L-1]+1, B[R]]\) và giữ nguyên \(K\).
Nếu \(K > inLeft\), phần tử nằm ở con phải. Ta đệ quy sang con phải với phạm vi mới là \([L - B[L-1], R - B[R]]\) và cập nhật \(K' = K - inLeft\).
Đệ quy dừng lại khi \(lo = hi\), khi đó kết quả chính là \(lo\).

Độ phức tạp

Thời gian: Xây cây \(O(N \log(max\_val - min\_val))\). Mỗi truy vấn thực hiện trong \(O(\log(max\_val - min\_val))\).
Không gian: \(O(N \log(max\_val - min\_val))\) bộ nhớ.

Mã nguồn C++ mẫu

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct WaveletTree {
    int lo, hi;
    vector<int> B;
    WaveletTree *left, *right;

    WaveletTree(vector<int>::iterator from, vector<int>::iterator to, int x, int y)
        : lo(x), hi(y), left(nullptr), right(nullptr) {
        if (from == to || lo == hi) return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        auto f = [mid](int val) { return val <= mid; };
        B.reserve(to - from + 1);
        B.push_back(0);
        for (auto it = from; it != to; it++)
            B.push_back(B.back() + f(*it));
        auto pivot = stable_partition(from, to, f);
        left = new WaveletTree(from, pivot, lo, mid);
        right = new WaveletTree(pivot, to, mid + 1, hi);
    }

    int kth(int l, int r, int k) {
        if (lo == hi) return lo;
        int lb = B[l - 1], rb = B[r];
        int inLeft = rb - lb;
        if (k <= inLeft)
            return left->kth(lb + 1, rb, k);
        else
            return right->kth(l - lb, r - rb, k - inLeft);
    }

    ~WaveletTree() { delete left; delete right; }
};

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int n, q;
    if (!(cin >> n >> q)) return 0;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    vector<int> temp = a;
    int minVal = *min_element(temp.begin(), temp.end());
    int maxVal = *max_element(temp.begin(), temp.end());
    WaveletTree wt(temp.begin(), temp.end(), minVal, maxVal);

    while (q--) {
        int l, r, k;
        cin >> l >> r >> k;
        cout << wt.kth(l, r, k) << "\n";
    }
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.