Hướng giải của Chu vi hình chữ nhật bao nhỏ nhất

Nhớ rằng hướng dẫn giải này chỉ nên sử dụng khi bế tắc, và tuyệt đối không nên sao chép mã nguồn kèm theo. Hãy tôn trọng tác giả bài tập và người viết hướng dẫn giải.
Nộp mã nguồn lời giải chính thức trước khi giải bài tập đó có thể khiến bạn bị ban.

Tác giả: kienadmin

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật bao nhỏ nhất luôn có một cạnh trùng với một cạnh của bao lồi. Do đó:

  1. Xây dựng bao lồi bằng thuật toán Monotone Chain.
  2. Với mỗi cạnh của bao lồi, xoay hệ trục toạ độ sao cho cạnh đó nằm ngang, tính hình chữ nhật bao theo hướng đó.
  3. Sử dụng Rotating Calipers để duy trì bốn điểm: leftmost, rightmost, topmost, bottommost tương ứng với hướng của cạnh hiện tại.
  4. Cập nhật chu vi nhỏ nhất.

Công thức: với một hướng \(\vec{v}\) (vector cạnh) và hướng vuông góc \(\vec{n}\), chiều rộng là hiệu lớn nhất của tích vô hướng với \(\vec{v}\), chiều cao là hiệu lớn nhất của tích vô hướng với \(\vec{n}\). Chu vi = \(2 \times (\text{rộng} + \text{cao})\).

Độ phức tạp: \(O(N \log N)\).

Mã nguồn C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Point { long long x, y; };

long long cross(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
    return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x);
}

long long dot(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
    return (b.x - a.x) * (c.x - a.x) + (b.y - a.y) * (c.y - a.y);
}

vector<Point> build_hull(vector<Point> p) {
    int n = p.size();
    sort(p.begin(), p.end(), [](const Point& a, const Point& b) {
        return a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y;
    });
    vector<Point> hull;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while (hull.size() >= 2 && cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), p[i]) <= 0)
            hull.pop_back();
        hull.push_back(p[i]);
    }
    int lower = hull.size();
    for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
        while (hull.size() > lower && cross(hull[hull.size()-2], hull.back(), p[i]) <= 0)
            hull.pop_back();
        hull.push_back(p[i]);
    }
    hull.pop_back();
    return hull;
}

double min_perim_rect(const vector<Point>& hull) {
    int m = hull.size();
    double ans = 1e30;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int j = (i + 1) % m;
        double vx = hull[j].x - hull[i].x;
        double vy = hull[j].y - hull[i].y;
        double len = sqrt(vx * vx + vy * vy);
        vx /= len; vy /= len;
        double nx = -vy, ny = vx;
        double min_v = 0, max_v = 0, min_n = 0, max_n = 0;
        for (int k = 0; k < m; k++) {
            double pv = (hull[k].x - hull[i].x) * vx + (hull[k].y - hull[i].y) * vy;
            double pn = (hull[k].x - hull[i].x) * nx + (hull[k].y - hull[i].y) * ny;
            if (k == 0) min_v = max_v = pv, min_n = max_n = pn;
            else {
                min_v = min(min_v, pv); max_v = max(max_v, pv);
                min_n = min(min_n, pn); max_n = max(max_n, pn);
            }
        }
        double width = max_v - min_v;
        double height = max_n - min_n;
        ans = min(ans, 2.0 * (width + height));
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
    int n; cin >> n;
    vector<Point> p(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> p[i].x >> p[i].y;
    vector<Point> hull = build_hull(p);
    cout << fixed << setprecision(2) << min_perim_rect(hull) << "\n";
    return 0;
}

Nhận xét

Không có ý kiến tại thời điểm này.